Urodzony 8 września 1904 r. w Strzyżowie Lubelskim jako syn Januarego - chemika i Marii Wołłk-Łaniewskiej. Nauki pobierał we Włocławku i Skierniewicach. Egzamin maturalny zdał w 1922 r. w Gimnazjum Matematyczno-Przyrodniczym w Kielcach. Studiował na Wydziale Filozoficznym Uniwersytetu Warszawskiego geologię i geografię fizyczną. Kilka lat później wyjechał na praktykę w Karpatach, gdzie przez długie miesiące prowadził badania geologiczne solnych formacji przedgórza Karpat. W roku 1929 uzyskał tytuł doktora filozofii w zakresie geologii. Rok później został zatrudniony na Wydziale Naftowym Państwowego Instytutu Geologicznego. Przeprowadzał pomiary kartograficzne w rejonach Jasło-Dukla i Gorlice-Grybów, co zaowocowało opracowaniem i przygotowaniem do druku przeglądowej mapy geologicznej Karpat polskich w skali 1:200000. W 1938 r. był kierownikiem pracowni kartograficznej PIG i redaktorem jego wydawnictw kartograficznych.
Powołany do wojska w kwietniu 1939 r. odbył kampanię wrześniową, po czym w październiku tego roku powrócił do Warszawy. W czasie okupacji nie opuścił Warszawskiego Instytutu Geologicznego wciąż badając karpackie utwory w rejonach Stróż, Gorlic i Krosna. Powstania nie przeżył w stolicy – w sierpniu 1944 wraz z kilkunastoosobową grupą pracowników Instytutu został wywieziony do obozu pracy w Saksonii. Szczęśliwie udało mu się przedostać do Wrocławia, a następnie do Krakowa, gdzie doczekał wyzwolenia. W roku 1945 wskrzesił Państwowy Instytut Geologiczny w Krakowie. Po ponownym przeniesieniu PIG do stolicy, naukowiec stanął na czele karpackiego Regionu Instytutu. Już wiosną 1945 r. na Uniwersytecie Jagiellońskim rozpoczął wykłady i ćwiczenia z geologii ziem polskich. Dwa lata później uzyskał tytuł profesora nadzwyczajnego Wydziału Geologiczno-Mierniczego AGH. Jednocześnie objął Katedrę Geologii Ogólnej działającej od 1951 r. jako Zakład Kartowania Geologicznego. Kolejne jego funkcje naukowe to prodziekan Wydziału Geologiczno-Mierniczego i koordynator Wydziału Geologiczno-Poszukiwawczego.
Naukowiec ten badał również występowanie, genezę i wykorzystanie wód mineralnych rejonu Karpat. Specjalizował się w dziedzinie geologii uzdrowiskowej, a Uzdrowisko Krynica-Żegiestów polegało na nim jako ekspercie naukowym – właśnie pod jego kierunkiem w 1953 r. wykonano pierwszą dokumentację wód mineralnych Krynicy. Z jego doświadczeń i inicjatywy wykonano projekty i odwierty „Zuber III” i „Zuber IV”, dzięki czemu Krynica posiadła kolejne wody lecznicze.
Henryk Świdziński oprócz licznych działalności naukowych piastował ważne urzędy społeczno-zawodowe - był m. in. Przewodniczącym Zarządu Głównego Polskiego Towarzystwa Geologicznego, członkiem Prezydium Komitetu Geologicznego Polskiej Akademii Nauk i Rady Naukowej Instytutu Geologicznego. Za swą pracowitość i wytrwałość został odznaczony Złotym Krzyżem Zasług i Medalem Jubileuszowym Polskich Inżynierów Górniczych. Odszedł 23 czerwca 1969 r., jego prochy spoczęły na cmentarzu Salwatorskim w Krakowie.